线性代数中的反例

$(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$成立，不能得出$AB=BA$.

• 反例1：$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，有$(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3=\begin{pmatrix} -8 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，但是$AB=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},BA=\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

• 反例2：$A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -10 \end{pmatrix}$，有$(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3=\begin{pmatrix} 27 & 0 \\ 37 & -343 \end{pmatrix}$，但是$AB=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -30 \end{pmatrix},BA=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & -30 \end{pmatrix}$.